1. Función de Varias Variables
Una función de varias variables es una función que depende de dos o más variables independientes, por ejemplo, \( f(x, y, z) \). Estas funciones son comunes en física e ingeniería, donde magnitudes como temperatura o presión dependen de más de una variable.
2. Superficies de Nivel
Las superficies de nivel son las superficies donde una función de tres variables \( f(x, y, z) \) toma un valor constante, es decir, \( f(x, y, z) = c \). Estas superficies son útiles para representar gráficamente el comportamiento de funciones en 3D.
3. Derivadas Parciales
Las derivadas parciales representan la tasa de cambio de una función con respecto a una de sus variables, manteniendo las otras constantes. Si \( f(x, y) \) es una función de \( x \) y \( y \), sus derivadas parciales se denotan como:
\[\frac{\partial f}{\partial x} \quad \text{y} \quad \frac{\partial f}{\partial y}\]
4. Teorema de Clairaut
El teorema de Clairaut establece que para una función continua y derivable \( f(x, y) \), las derivadas parciales de segundo orden son iguales si los órdenes de derivación son intercambiables:
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\]
Este teorema es importante en la diferenciación de funciones de varias variables.
5. Planos Tangentes
El plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que mejor aproxima la superficie en ese punto. Para una función \( z = f(x, y) \), el plano tangente en el punto \( (x_0, y_0, z_0) \) está dado por:
\[z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (y - y_0)\]
Este plano es útil en aplicaciones donde se requiere una aproximación lineal de una superficie en un punto específico.