1. Valor Promedio de una Función
El valor promedio de una función \( f(x) \) en un intervalo \([a, b]\) es útil en física e ingeniería para calcular una media representativa de una cantidad variable. La fórmula es:
\[f_{\text{prom}} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx\]
Esto permite encontrar el promedio de magnitudes como velocidad o temperatura en un intervalo dado.
2. Teorema del Valor Medio para las Integrales
Este teorema establece que para una función continua \( f(x) \) en el intervalo \([a, b]\), existe al menos un punto \( c \) en \([a, b]\) tal que:
\[\int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(c) \cdot (b - a)\]
Este resultado permite aproximar el área bajo una curva y tiene aplicaciones en física para obtener valores promedios de fuerzas o presiones.
3. Trabajo
En física, el **trabajo** realizado por una fuerza variable \( F(x) \) sobre un objeto a lo largo de una distancia \( [a, b] \) se calcula con la integral:
\[W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx\]
Esta fórmula se usa para hallar la energía transferida por fuerzas que cambian con la posición, como en resortes o campos de fuerza.
4. Longitud del Arco
La **longitud de un arco** de una curva \( y = f(x) \) en el intervalo \([a, b]\) se calcula con:
\[L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( f'(x) \right)^2} \, dx\]
Esta integral se usa en ingeniería para medir la longitud de curvas complejas, como cables, superficies y estructuras.